前

视频部分请自备梯子，另外推导数学的公式使用 Google chart api 来生成的，不保证所有人都能看到。

好玩的问题

在YouTube上闲逛，发现了个好玩的问题:
【Fun科學】你洗澡時想過這問題嗎？(極度燒腦，高手請進)

将问题理想化

1.冷水管和热水管的流量比为1：1
2.热交换在瞬间完成
3.不考虑热量的损失（空气、管道、其他）

思路

自然是不会有什么温度越来越低的诡论的。在大部分状态下，都是无限趋近于某一个稳定状态。

第一个思路

设：当稳定状态下，花洒的出水温度为 x 度。

• 这有一个陷阱： 花洒的流量是热水管的2倍哦，所以花洒和热水管热交换之后的温度
• 热交换之后的热水管和冷水管混合的温度
• 而这个温度应该等于 x

所以得到方程式：
解出：x = 35 度
也就是说最后的水温会无限趋近于 35 度。

第二个思路

【Fun科學】解答-洗澡詭論(普通版)

受这个普通解题思路的启发：

• 花洒初始水温为：
• 第一次水温改变后的花洒水温：
• 将式子化简：
• 第二次水温改变后花洒的温度为：
• 将带入后化简整理式子：
• 相同方法可得：
• ...
• ...
• 最后不难得出：

可以看出包含：

• n-1 项的等比数列，首项是，公比为的等比数列
• 还有常数 和

由等比数列前n项和公式和简单的整理不难得出：

所以很明显：
当n趋近于正无穷时，收敛于35。

尾巴

第二个思路最后的得到的 推导的过程就不贴出来了(数学公式写起来太麻烦了)，没经过严格的证明，所以可能是错的(笑)。
而将本文写在博客上的收获远不止解题思路那么简单，

• 我学会了怎么在 markdown 中插入公式。
• 大概了解了如何使用 LaTeX 来表示一个公式。
• 了解了使用 Google chart api 生成公式的方法。
• 自然还有使用Google chart api 加号 + 需要转译成 %2b 的坑(UrlEncode)。

所以收获满满不是嘛?